01
預備知識
Preliminaries
02
極限
Limits
2.1極限的直觀概念與 ε-δ 定義
2.2極限的運算法則（和、積、商）
2.3單邊極限與極限的存在性
2.4夾擠定理（Squeeze Theorem）
2.5無窮極限與水平 / 垂直漸近線
2.6重要極限：lim sin x / x 與 lim (1+1/n)ⁿ
03
連續
Continuity
3.1函數在一點的連續性定義
3.2連續函數的運算性質（和、積、合成）
3.3不連續的分類：可去、跳躍、本質不連續
3.4中間值定理（Intermediate Value Theorem）
3.5極值定理（Extreme Value Theorem）
3.6一致連續（Uniform Continuity）簡介
04
導數與微分
Derivatives & Differentials
4.1導數的定義：極限形式與幾何意義（切線斜率）
4.2可微分性與連續性的關係
4.3基本求導法則（冪、指數、對數、三角函數）
4.4乘法法則、商法則
4.5連鎖律（Chain Rule）
4.6隱函數微分與對數微分
4.7高階導數
4.8微分（線性近似）與微分的應用
05
導數的應用
Applications of Derivatives
5.1均值定理（Mean Value Theorem）與 Rolle 定理
5.2函數的遞增、遞減與一階導數判定法
5.3凹凸性、反曲點與二階導數判定法
5.4極值問題（最佳化應用）
5.5洛必達法則（L'Hôpital's Rule）
5.6曲線描繪（Curve Sketching）
5.7相關變率（Related Rates）
5.8泰勒展開與多項式近似
06
積分
Integration
6.1反導函數與不定積分
6.2黎曼和與定積分的定義
6.3微積分基本定理（第一與第二形式）
6.4代換積分法（Substitution）
6.5分部積分法（Integration by Parts）
6.6三角函數積分與三角代換
6.7部分分式分解法
6.8瑕積分（Improper Integrals）與收斂判定
07
積分的應用
Applications of Integration
7.1面積的計算（直角坐標與極坐標）
7.2旋轉體體積（圓盤法與殼層法）
7.3弧長與曲面面積
7.4物理應用：功、力矩、質心
7.5機率密度函數與期望值
08
無窮級數
Infinite Series
8.1數列的極限與收斂
8.2級數的定義與部分和
8.3收斂判定法（比較、比值、根值、積分判定）
8.4交錯級數與絕對收斂 / 條件收斂
8.5冪級數與收斂半徑
8.6泰勒級數與麥克勞林級數
8.7冪級數的微分與積分