1.1 實數系與數線的完備性

I數系的建構

Construction of Number Systems

微積分的一切運算都建立在實數系（real number system）之上。在進入極限與連續的討論之前，我們必須先理解實數是如何從更基本的數系一步步擴展而來的。

實數 Reals

ℝ

有理數 Rationals

ℚ

整數 Integers

ℤ

ℕ

自然數

自然數 ℕ = {1, 2, 3, …}——用於計數，是最直觀的數系。
整數 ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}——引入零與負數，使減法封閉。
有理數 ℚ = { p/q | p, q ∈ ℤ, q ≠ 0 }——引入分數，使除法封閉。
無理數——不能表示為兩個整數之比的數，如 √2、π、e。
實數 ℝ = 有理數 ∪ 無理數——填滿數線上的每一個「空隙」。

Theorem — √2 的無理性

√2 不是有理數。

證明（反證法）：假設 √2 = p/q，其中 p, q ∈ ℤ 且互質。則 2q² = p²，故 p² 為偶數，推得 p 為偶數。令 p = 2k，代入得 q² = 2k²，故 q 也為偶數——與 p, q 互質矛盾。因此 √2 ∉ ℚ。 ∎

II實數系的代數結構

Algebraic Structure — Field Axioms

實數系 ℝ 在加法與乘法下構成一個有序體（ordered field），滿足以下公理：

公理類別	內容
加法封閉	若 a, b ∈ ℝ，則 a + b ∈ ℝ
加法交換律	a + b = b + a
加法結合律	(a + b) + c = a + (b + c)
加法單位元	存在 0 ∈ ℝ 使得 a + 0 = a
加法反元素	對每個 a，存在 −a 使得 a + (−a) = 0
乘法封閉	若 a, b ∈ ℝ，則 a · b ∈ ℝ
乘法交換律	a · b = b · a
乘法結合律	(a · b) · c = a · (b · c)
乘法單位元	存在 1 ∈ ℝ, 1 ≠ 0 使得 a · 1 = a
乘法反元素	若 a ≠ 0，存在 a⁻¹ 使得 a · a⁻¹ = 1
分配律	a · (b + c) = a · b + a · c

有理數 ℚ 同樣滿足上述所有公理——那麼，ℝ 比 ℚ 多了什麼？答案正是完備性。

III序公理

Order Axioms

實數上定義了一個全序關係 “≤”，滿足：

自反性：對所有 a ∈ ℝ，a ≤ a。
反對稱性：若 a ≤ b 且 b ≤ a，則 a = b。
遞移性：若 a ≤ b 且 b ≤ c，則 a ≤ c。
全序性：對任意 a, b ∈ ℝ，必有 a ≤ b 或 b ≤ a。

此外，序關係與加法、乘法相容：

若 a ≤ b，則 a + c ≤ b + c。
若 a ≤ b 且 c ≥ 0，則 ac ≤ bc。

IV完備性公理

The Completeness Axiom — Least Upper Bound Property

Definition — 上界與上確界

設 S ⊆ ℝ 為非空集合。

若存在 M ∈ ℝ 使得對所有 s ∈ S 皆有 s ≤ M，則稱 M 為 S 的一個上界（upper bound）。此時稱 S 為有上界的（bounded above）。
S 的上確界（supremum），記作 sup S，是 S 所有上界中最小的一個。即 sup S = min{ M : M 是 S 的上界 }。

類似地，可定義下界（lower bound）與下確界（infimum, inf S）。

Axiom — 完備性公理（最小上界性質）

若 S ⊆ ℝ 是非空且有上界的集合，則 sup S 存在且屬於 ℝ。

這條公理看似簡單，卻是區分 ℝ 與 ℚ 的核心。

Example — ℚ 不完備

令 S = { x ∈ ℚ : x² < 2 }。在 ℚ 中，S 有上界（例如 2），但 S 在 ℚ 中不存在最小上界——因為 √2 ∉ ℚ。這個「空隙」正是有理數線不完備的具體表現。

有理數線上 √2 處的「空隙」——完備性公理保證實數線沒有這樣的空隙

V數線的完備性

Completeness of the Number Line

將實數與數線上的點一一對應，這就是數線公理。完備性公理在幾何上的意義是：

Geometric Interpretation

數線上沒有空隙——每一個點都對應一個實數，每一個實數都對應一個點。實數與數線上的點構成一個雙射（bijection）。

VI完備性的等價形式

Equivalent Forms of Completeness

以下定理在實數系中等價於完備性公理，它們從不同角度刻畫了「數線無空隙」這一核心事實：

Theorem — 單調有界定理

若數列 {a_n} 單調遞增且有上界，則 {a_n} 收斂。

Theorem — 區間套定理（Nested Intervals）

若 [a₁, b₁] ⊇ [a₂, b₂] ⊇ [a₃, b₃] ⊇ … 為一系列閉區間且 b_n − a_n → 0，則恰存在唯一實數 c 屬於所有區間。

Theorem — Bolzano–Weierstrass 定理

有界數列必有收斂的子數列。

Theorem — Cauchy 收斂準則

數列 {a_n} 收斂 ⟺ {a_n} 為 Cauchy 數列（即對任意 ε > 0，存在 N 使得 m, n > N 時 |a_m − a_n| < ε）。

VII有理數與無理數的稠密性

Density of Rationals and Irrationals

Theorem — Archimedean Property

對任意實數 x > 0，存在自然數 n 使得 n > x。

等價地：對任意 ε > 0，存在自然數 n 使得 1/n < ε。

Theorem — 有理數的稠密性

任意兩個不相等的實數之間，必存在一個有理數。

推論：任意兩個不相等的實數之間，也必存在一個無理數。

因此，有理數和無理數都在數線上稠密（dense）分布。然而，有理數是可數的（countable），而無理數（以及實數整體）是不可數的（uncountable）。這意味著從集合大小的觀點來看，「大多數」實數其實是無理數。

VIII總結與展望

Summary & Looking Ahead

Key Takeaways

實數系 ℝ 是一個完備有序體（complete ordered field）。
完備性公理保證了有上界的非空集合必有上確界——這是 ℝ 區別於 ℚ 的根本所在。
數線上沒有空隙：實數與數線上的點一一對應。
完備性是極限理論的基石——沒有完備性，就無法保證收斂數列一定有極限。

有了實數系的完備性作為基礎，我們就可以嚴格地定義極限（第 2 章），進而建立整個微積分的理論大廈。