二進位教學與練習

I什麼是二進位？

What is Binary?

我們日常使用的數字系統是十進位（decimal, base-10），有 0–9 共 10 個數字符號。而二進位（binary, base-2）只使用兩個符號：0 和 1。

Why Binary?

電腦的核心元件——電晶體——只有「開」與「關」兩種狀態，天然對應 1 與 0。因此，二進位是所有數位計算的基礎語言。

在二進位中，每一個位元稱為 bit（binary digit），8 個 bit 組成一個 byte（位元組）。

Analogy

想像一排電燈開關——每個開關只能「亮」或「暗」。透過不同的亮暗組合，我們就能表示任意數字。試試下面的互動開關！

二進位值 Binary

00000000

= 0 (十進位)

II位值原理

Positional Notation & Place Values

如同十進位中每個位置代表 10 的冪次，二進位中每個位置代表 2 的冪次：

	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
位值	128	64	32	16	8	4	2	1
例: 13	0	0	0	0	1	1	0	1
貢獻	—	—	—	—	8	4	—	1

Example

00001101_₂ = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13_₁₀

III二進位計數

Counting in Binary

二進位的計數邏輯和十進位完全一樣——當某一位滿了就進位。十進位逢十進一，二進位逢二進一：

十進位	二進位	說明
0	0000
1	0001
2	0010	進位！
3	0011
4	0100	再進位！
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000	又進位！
9	1001
10	1010
15	1111	4-bit 最大值
16	10000	需要 5 位！

IV十進位 → 二進位

Decimal to Binary Conversion

最常用的方法是短除法（除 2 取餘法）：不斷除以 2，記錄餘數，最後將餘數由下往上排列。

Algorithm

將十進位數除以 2，記錄商與餘數。
以商作為新的被除數，重複步驟 1。
直到商為 0 停止。
將所有餘數倒序排列，即為二進位結果。

輸入十進位數字：

V二進位 → 十進位

Binary to Decimal Conversion

將每個 bit 乘以對應的位值（2 的冪次），再全部相加：

Example

10110_₂ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22_₁₀

VI八進位與十六進位

Octal & Hexadecimal

因為二進位數字太長，實務上常用八進位（octal, base-8）和十六進位（hexadecimal, base-16）來簡寫：

八進位：每 3 個 bit 對應 1 個八進位數字（0–7）。
十六進位：每 4 個 bit 對應 1 個十六進位數字（0–9, A–F）。

十進位	二進位	八進位	十六進位
0	0000	0	0
7	0111	7	7
8	1000	10	8
10	1010	12	A
15	1111	17	F
16	10000	20	10
255	11111111	377	FF

In Practice

十六進位廣泛用於：顏色碼（如 #FF5733）、記憶體位址、MAC 地址等。你可以在「進位轉換器」分頁中試試各種轉換！

VII文字也是二進位

Text as Binary — ASCII Encoding

電腦用二進位儲存文字，最經典的編碼方式是 ASCII（American Standard Code for Information Interchange），用 7 位二進位表示 128 個字元：

例如字母 A 的 ASCII 碼是 65，二進位為 1000001